Трудно принять важное жизненное решение? Математика советует использовать «правило 37 процентов»

Жизнь полна важных решений, и выбор среди, казалось бы, бесконечного множества вариантов может оказаться — ну, парализующе сложным. Купить эту квартиру или ту? Снимать жильё с этим соседом или с кем-то другим? Согласиться на мистера «Вполне-Себе-Хорош» или подождать, вдруг появится мистер Идеал?

От этого легко впасть в отчаяние — но не бойтесь: у науки есть решение. Во всяком случае, у математики оно точно есть.

Как и удивительно большое количество математических фактов, эта идея получила широкую известность благодаря головоломке «ради забавы», которую опубликовал Мартин Гарднер (а остальные, конечно же, придумал Джон Конвей).

Шёл 1960 год, поэтому задача была сформулирована как «задача о секретаре» и звучала следующим образом: вам нужно нанять секретаря; есть n претендентов, которых опрашивают и принимают или отвергают последовательно в случайном порядке; вы можете ранжировать их по степени пригодности без ничьих; однажды отвергнутого кандидата нельзя вернуть; наконец, это игра по принципу «всё или ничего» — второй или четвёртый по качеству претендент вас не устроит.

Были и другие формулировки, включая «задачу о женихе» (та же идея, но вместо секретаря вы ищете спутника жизни) и «игру в гугол» — в этой версии вы переворачиваете карточки с числами, пока не решите, что, скорее всего, нашли самое большое число из всех.

Как бы вы ни формулировали условия, вопрос остаётся прежним: как максимизировать вероятность выбора самого лучшего из доступных вариантов?

Ответ, как выясняется, удивительно предсказуем.

Правило 37 процентов

На словах это сложная и труднодоступная задача. На языке математики всё довольно просто.

«У этой базовой задачи есть удивительно простое решение, — писал математик и статистик Томас С. Фергюсон в 1989 году. — Сначала показывается, что внимание можно ограничить классом правил, которые для некоторого целого числа r > 1 отклоняют первых r – 1 кандидатов, а затем выбирают следующего кандидата, который превосходит по относительному рангу всех ранее рассмотренных».

Итак, когда вы сталкиваетесь с потоком случайных вариантов и хотите выбрать самый лучший, первое, что вам нужно сделать, это… отклонить всех. Но лишь до определённого момента — а достигнув его, просто выбрать следующего кандидата, поклонника или карточку, которая окажется лучше всего, что вы видели до сих пор.

Теперь вопрос предельно прост: когда именно наступает этот момент?

Что ж, предположим, что точка остановки — это m-й кандидат: все до него включительно получают отказ. Если лучшим кандидатом оказывается (m+1)-й, поздравляем, вы согласитесь на него и получите наилучший возможный результат.

А что, если лучший кандидат — (m+2)-й? Здесь возможны два сценария: либо (m+1)-й был лучше первых m, но не был абсолютно лучшим — тогда вам не повезло, ведь вы выбрали его предшественника и упустили лучший вариант, — либо вы отклонили (m+1)-го и успешно выбрали (m+2)-го.

Естественно, нам нужен второй сценарий, а не первый. И вот хорошая новость: из всех перестановок первых (m+1) кандидатов есть только 1/(m+1) сценариев, при которых вы по ошибке примете (m+1)-го вместо (m+2)-го. Это значит, что всё ещё остаётся m/(m+1) сценариев, в которых вы дождётесь и выберете лучшего.

Хорошо, а если лучший кандидат находится на позиции (m+3)? Его примут только в том случае, если ни кандидат (m+1), ни кандидат (m+2) не превзошли всех предыдущих — а такое происходит лишь в 2/(m+2) случаев. Опять же, это значит, что вы дождётесь лучшего в m/(m+2) случаев.

Возможно, вы уже заметили закономерность: в общем виде, если n-й кандидат оказывается лучшим, его выберут в m/(n – 1) случаев из (n – 1).

Если устремить n к бесконечности, эта закономерность превращается в предел. «Вероятность ϕ(r) выбора наилучшего кандидата равна 1/n для r = 1, — объясняет Фергюсон, — а для r > 1 […] сумма превращается в риманово приближение интеграла:

Теперь возникает вопрос: как максимизировать это значение? Ответ довольно прост: нужно приравнять x к 1/e, что приблизительно равно 0,368.

Из-за свойств логарифмов и экспонент это означает, что ϕ(r) также равно 0,367879… Иными словами, «приблизительно оптимально подождать, пока не будет опрошено около 37% кандидатов, а затем выбрать следующего, кто окажется лучше всех предыдущих, — объясняет Фергюсон. — Вероятность успеха также составляет около 37%».

Звучит, возможно, не слишком впечатляюще — в конце концов, это лишь чуть больше одного шанса из трёх найти наилучший вариант. Но если сравнить с альтернативой, результат поражает: «Если бы вы решили не следовать этой стратегии, а просто выбрали партнёра наугад, у вас был бы всего 1/n шанс встретить настоящую любовь, или всего 5 процентов, если за всю жизнь вам суждено сходить на свидания с 20 людьми, например», — написала Ханна Фрай, профессор популяризации математики в Кембриджском университете, в своей книге 2015 года «Математика любви».

«Но, отклонив первые 37 процентов претендентов и следуя этой стратегии, вы можете кардинально изменить свои шансы — вплоть до внушительных 38,42 процента при выборке из 20 потенциальных партнёров».

Действительно ли это работает?

Итак: 37 процентов. Неважно, что именно вы выбираете и сколько у вас вариантов, всё сводится к этой универсальной пропорции. Звучит слишком хорошо, чтобы быть правдой, не так ли?

«Я математик и потому предвзята, но этот результат буквально поражает моё воображение, — пишет Фрай. — Есть три месяца на поиск жилья? Отклоняйте все варианты в первый месяц, а затем выбирайте первый попавшийся дом, который окажется лучше всех увиденных ранее. Нанимаете ассистента? Отклоните первые 37 процентов кандидатов, а затем отдайте должность следующему, кто превзойдёт всех предыдущих».

Если логика безупречна и математика сходится (а это так), почему этот вывод кажется настолько интуитивно неверным? Как отметила Фрай в своём выступлении на TED в 2014 году, реальная жизнь может внести неприятные коррективы: «Этот метод сопряжён с определёнными рисками, — сказала она. — Представьте, к примеру, что идеальный партнёр встретился вам в течение первых 37 процентов времени. К сожалению, вам придётся его отвергнуть».

А «если вы строго следуете математике, — продолжила она, — боюсь, никто лучше уже не появится, поэтому вам придётся отказывать всем остальным и умереть в одиночестве».

И всё же есть способ избежать печальной участи стать кормом для кошек: снизьте планку стандартов.

«Математическая модель предполагает, что вас интересует исключительно самый лучший партнёр из всех возможных, — пишет Фрай. — Но […] в реальности многие из нас предпочтут хорошего партнёра одиночеству, если Тот Самый недоступен».

Конечно, у вас есть около 37 процентов вероятности найти Того Самого, отвергнув первые 37 процентов кандидатов. Но что, если вы согласны на кого-то из лучших 5 процентов? В таком случае порог отсева снижается: «Если вы отклоните кандидатов из первых 22 процентов вашего периода поиска и выберете следующего человека, который окажется лучше всех, кого вы встречали ранее […] вы свяжете жизнь с кем-то из топ-5 процентов потенциальных партнёров в 57 процентах случаев», — объясняет Фрай.

Если же вы готовы принять любого кандидата из лучших 15 процентов, шансы возрастают ещё сильнее. Тогда вам достаточно отсеять лишь первые 19 процентов вариантов — и рассчитывать на успех с вероятностью почти четыре к пяти.

И признаем честно: когда речь идёт о любви, это совсем неплохие шансы. Во всяком случае, это куда надёжнее астрологии.